「三角形の問題になると、内角と外角がごちゃごちゃになる」
「180度なのは覚えているけれど、どこでどう使うのかわからない」
そんな人向けに、この記事では三角形の基本性質をやさしく整理していきます。
中学数学の図形分野では、三角形の性質はとても重要です。
しかもこの単元は、あとで学ぶ合同、相似、証明、角度の計算にもつながっていきます。
でも安心してください。
三角形のルールは多そうに見えて、まず押さえるべき中心はそれほど多くありません。
特に大切なのは、内角の和が180°であること、そして外角は向かい合う2つの内角の和に等しいことです。
この記事では、やり直し学習向けに、言葉の意味から順番に説明します。
三角形とは何か
三角形とは、3本の線分で囲まれた図形です。
頂点が3つあり、辺も3本、角も3つあります。
たとえば三角形ABCなら、
- 頂点は A、B、C
- 辺は AB、BC、CA
- 内側の角は ∠A、∠B、∠C
です。
ここで大事なのは、三角形には必ず3つの内角があるということです。
そして、その3つの内角には決まったルールがあります。
内角とは
内角とは、図形の内側にある角のことです。
三角形でいえば、3つの頂点の内側にできる3つの角が内角です。
三角形ABCなら、
∠A、∠B、∠C が内角です。
たとえば、
∠A = 50°
∠B = 60°
∠C = 70°
なら、この3つはすべて内角です。
三角形の問題では、まず「どれが内角なのか」をはっきり見分けることが大切です。
三角形の内角の和は180°
三角形の最も基本的な性質がこれです。
三角形の内角の和は必ず180°になる。
式で書くと、
∠A + ∠B + ∠C = 180°
です。
これはどんな三角形でも成り立ちます。
正三角形でも、細長い三角形でも、直角三角形でも同じです。
例1
三角形の2つの角が 40° と 65° なら、残りの1つは
180° – (40° + 65°) = 75°
です。
つまり、残りの角は 75° です。
例2
三角形の2つの角が 90° と 35° なら、残りの1つは
180° – (90° + 35°) = 55°
です。
このように、三角形では3つのうち2つがわかれば、残り1つは必ず求められるのが大きな特徴です。
なぜ180°になるのか
やり直し学習では、「そういうもの」と覚えるだけでもまずは十分です。
ただ、少し理由を知っておくと忘れにくくなります。
三角形の1つの頂点から、反対側の辺に平行な直線を引くことを考えると、できる角は平行線の錯角や同位角の関係で一直線の角になります。
一直線の角は180°なので、三角形の3つの内角の和も180°になるわけです。
つまり、三角形の内角の和180°は、図形の約束ではなく、平行線の性質から説明できるルールです。
三角形の3つの内角をすべて足すと、必ず180°になる
外角とは
次に、混乱しやすい外角です。
外角とは、三角形の1つの辺を延長したとき、外側にできる角のことです。
たとえば三角形ABCで、辺BCをCの先へ延長したとします。
すると、頂点Cの外側に新しい角ができます。
これが外角です。
ここで注意したいのは、外角は「外にある角なら何でもよい」という意味ではないことです。
辺を延長してできる角として考えるのがポイントです。
内角と外角の関係
ある頂点で、内角とそのとなりの外角は一直線上に並びます。
そのため、内角と外角の和は180°になります。
たとえば、ある頂点の内角が 68° なら、そのとなりの外角は
180° – 68° = 112°
です。
この関係はとてもよく使います。
重要な式
ある頂点の内角を x°、そのとなりの外角を y°とすると、
x + y = 180°
です。
つまり、外角は「180°からその内角を引いたもの」とも言えます。
三角形の外角の基本ルール
三角形の外角については、特に大切なルールが1つあります。
三角形の1つの外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しい。
たとえば、頂点Cの外角を考えると、
外角 = ∠A + ∠B
となります。
これは三角形の外角の定理としてよく知られています。
なぜそうなるのか
三角形ABCで、
∠A + ∠B + ∠C = 180°
です。
一方で、頂点Cの内角と外角も
∠C + 外角 = 180°
です。
どちらも180°なので、
∠A + ∠B = 外角
となります。
つまり、外角は「向かい合う2つの内角をまとめたもの」と考えられます。
外角 ＝ 遠くにある内角2つの足し算
外角の定理を使う例
例1
三角形で、ある2つの内角が 50° と 65° のとき、その向かいの外角は
50° + 65° = 115°
です。
例2
ある外角が 130°、向かい合う内角の1つが 55° なら、もう1つの内角は
130° – 55° = 75°
です。
このように、外角の問題では
足し算で求める場合もあれば、引き算で求める場合もあります。
「内角の和180°」と「外角の定理」の違い
この2つは似ているようで、使い方が少し違います。
内角の和180°は、三角形の内側の3つの角を使うルールです。
一方、外角の定理は、1つの外角と、向かい合う2つの内角をつなぐルールです。
たとえば、三角形の3つの内角が問題に出ているなら、まずは内角の和180°を考えます。
外側に角が1つ描かれているなら、外角の定理が使えないかを見ます。
どちらも最終的には180°の関係に基づいていますが、
問題で見えている角の位置によって、使いやすい式が変わるわけです。
三角形の外角の和は360°
もう1つ知っておくと便利な性質があります。
三角形の各頂点で、1つずつ同じ向きに外角をとると、その和は360°になります。
式で書けば、
外角1 + 外角2 + 外角3 = 360°
です。
これは内角の和が180°であることからも説明できます。
各外角はそれぞれ
180° – 内角
なので、3つ足すと
(180°-∠A) + (180°-∠B) + (180°-∠C)
= 540° – (∠A+∠B+∠C)
= 540° – 180° = 360°
となります。
中学ではまず、外角1つ＝向かい合う内角2つの和を優先して覚えれば十分ですが、外角の和360°も知っていると応用で役立ちます。
どの多角形でも、外角を合計すると360°になる
二等辺三角形の基本性質
三角形の基本性質として、角のルールとあわせてよく出るのが二等辺三角形です。
二等辺三角形とは、2本の辺の長さが等しい三角形です。
このとき、等しい辺に対する角も等しくなるという性質があります。
つまり、二等辺三角形では底角が等しいのです。
例
AB = AC の二等辺三角形なら、
∠B = ∠C
です。
これは角度を求める問題で非常によく使います。
たとえば、頂角が 40° の二等辺三角形なら、残りの2つの底角は等しいので、
(180° – 40°) ÷ 2 = 70°
となり、底角はどちらも 70° です。
正三角形の基本性質
正三角形は、3本の辺がすべて等しい三角形です。
このとき、3つの角もすべて等しくなります。
内角の和は180°なので、
180° ÷ 3 = 60°
より、正三角形の内角はすべて 60° です。
正三角形は、三角形の中でも特に対称性が高く、図形問題でよく登場します。
正三角形の角はすべて60°である
直角三角形の基本性質
直角三角形は、1つの角が90°である三角形です。
内角の和は180°なので、残りの2つの角の和は
180° – 90° = 90°
になります。
つまり、直角三角形では、残り2つの角は合わせて90°です。
たとえば、1つが 35° なら、もう1つは
90° – 35° = 55°
です。
この性質は、三平方の定理や三角比に進む前の土台としても大切です。
角度問題の基本的な解き方
三角形の角度問題が苦手な人は、いきなり答えを出そうとせず、まず「何のルールが使えるか」を確認すると整理しやすくなります。
見るポイントは次の順番です。
- まず、その角が内角なのか外角なのかを確認します。
- 次に、三角形の内角の和180°が使えないかを考えます。
- 外角があるなら、外角の定理が使えないかを見ます。
- さらに二等辺三角形や正三角形なら、等しい角がないかも確認します。
この流れで見ていくと、図が複雑でも少しずつ整理できます。
例題で確認しよう
例題1
三角形の2つの内角が 48° と 72° です。残りの1つを求めなさい。
内角の和は180°なので、
180° – (48° + 72°) = 60°
答えは 60° です。
例題2
三角形のある外角が 124° で、それと隣り合わない1つの内角が 56° です。もう1つの隣り合わない内角を求めなさい。
外角は向かい合う2つの内角の和なので、
124° – 56° = 68°
答えは 68° です。
例題3
二等辺三角形の頂角が 36° です。底角を求めなさい。
底角は2つあって等しいので、
(180° – 36°) ÷ 2 = 72°
答えは 72° です。
わかっている角から、順番に埋めていく意識を持つ
よくある間違い
三角形の角度問題では、似たようなミスをしやすいです。
- よくあるのは、外角と内角を取り違えることです。
- 図の外にあるから全部外角、ではありません。
- 辺を延長してできた角かどうかを確認しましょう。
- また、外角は隣の内角と等しいと勘違いする人もいます。
- 正しくは、外角と隣の内角は合わせて180°です。
- 等しいわけではありません。
- さらに、二等辺三角形で等しい辺に向かい合う角が等しいという関係を逆に見失うこともあります。
- 辺が等しい場所と、角が等しい場所を対応させて考えることが大切です。
この単元を苦手にしないコツ
三角形の基本性質は、丸暗記だけで進めると混乱しやすいです。
大事なのは、「どのルールも角のつながりを見ているだけ」と理解することです。
まずはこの3つを土台として押さえるのがおすすめです。
- 三角形の内角の和は180°
- 外角は向かい合う2つの内角の和
- 二等辺三角形では底角が等しい
この3つがしっかりしてくると、図形問題の見え方がかなり変わります。
複雑な図でも、「どの三角形を見るか」「内角か外角か」を落ち着いて確認すれば、解ける問題が増えていきます。
まとめ
三角形の基本性質でまず覚えたいのは、内角と外角のルールです。
三角形の内角の和は必ず180°。
外角は、向かい合う2つの内角の和に等しい。
そして、二等辺三角形では底角が等しく、正三角形では3つの角がすべて60°になります。
やり直し学習では、公式を増やすよりも、まず図のどこを見ればいいかを身につけることが大切です。
角度の問題を見たら、内角なのか外角なのか、どの三角形に注目するのかを確認してみてください。
それだけでも、図形の苦手意識はかなり減っていきます。
FAQ（よくある質問）
Q1. 三角形の内角の和は、どんな三角形でも180°ですか？
はい、どんな三角形でも内角の和は必ず180°です。
大きさや形が違っても、このルールは変わりません。
Q2. 外角はどうやって見分ければいいですか？
三角形の1つの辺を延長して、その外側にできる角が外角です。
ただ外にある角ではなく、辺の延長によってできた角と考えるのがポイントです。
Q3. 外角は隣の内角と同じですか？
いいえ、同じではありません。
外角と隣の内角は一直線の関係にあるので、和が180°になります。
Q4. 外角の定理はどう覚えればいいですか？
「外角 = 遠くの内角2つの和」と覚えるとわかりやすいです。
外角のすぐ隣ではなく、向かい合う2つの内角を足します。
Q5. 二等辺三角形では、どの角が等しくなりますか？
等しい2辺に向かい合う2つの角、つまり底角が等しくなります。
Q6. 正三角形の角はなぜ60°なのですか？
正三角形は3つの角がすべて等しい三角形です。
内角の和は180°なので、3等分して
180° ÷ 3 = 60°
となります。
Q7. 直角三角形で残りの2つの角の和が90°になるのはなぜですか？
三角形の内角の和は180°で、そのうち1つが90°だからです。
残りは
180° – 90° = 90°
となります。
Q8. 図形問題が苦手なときは、何から見ればいいですか？
まずは、内角か外角かを見分けることから始めてください。
次に、内角の和180°や外角の定理が使えないかを確認すると、整理しやすくなります。
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