【中学数学】多角形の内角と外角の求め方

「五角形や六角形になると、角度の求め方が急にわからなくなる」
「内角と外角の違いがあいまい」
「公式は見たことあるけど、なぜそうなるのかがピンとこない」

そんな人は多いです。

でも、多角形の角度は考え方の流れさえつかめれば、そこまで難しくありません。
特に大事なのは、

内角の和
1つの内角
外角の和
1つの外角

を分けて考えることです。

この記事では、多角形の内角と外角の求め方を、数学が苦手な人向けにやさしく解説します。
三角形とのつながりから、公式の意味、問題の解き方まで順番に整理していきます。

まず確認：多角形とは？

多角形とは、3本以上の直線で囲まれた図形のことです。

3本の辺 → 三角形
4本の辺 → 四角形
5本の辺 → 五角形
6本の辺 → 六角形

です。
つまり、多角形は「角がたくさんある図形」と考えるとわかりやすいです。

内角とは？

内角とは、多角形の内側にできる角のことです。
つまり、図形の内側にある角を見ればOKです。

外角とは？

外角とは、多角形の1つの辺を外側にのばしたときにできる外側の角のことです。
内角と外角を合わせると180°になります。

つまり、
内角 + 外角 = 180°
です。

多角形の内角の和の求め方

まず三角形から考えよう

三角形の内角の和は180°でした。
四角形や五角形の内角の和は、対角線を引いて三角形に分けることで求められます。

公式にするとどうなる？

n角形の内角の和を求めると、以下の規則が見えてきます。

三角形 → 1個の三角形 → 180°
四角形 → 2個の三角形 → 360°
五角形 → 3個の三角形 → 540°

つまり、n角形では三角形が (n-2) 個できることになります。

最重要ポイント：
n角形の内角の和を求める公式は (n-2) × 180° です。
この「-2」は、三角形に分けたときの個数を表しています。

正多角形の1つの内角の求め方

正多角形とは、辺の長さが全部等しく、角の大きさも全部等しい多角形のことです。
正多角形では、全部の内角が同じなので、以下の手順で求めます。

内角の和 ÷ 角の数 = 1つの内角

例題：正六角形の1つの内角

六角形の内角の和は (6-2) × 180 = 720° です。
正六角形では6つの角が同じなので、720 ÷ 6 = 120°
したがって、正六角形の1つの内角は120°です。

最重要ポイント：
正n角形の1つの内角は {(n-2) × 180°} ÷ n で求められます。

多角形の外角の求め方

多角形では、各頂点で1つずつ外角を考えることができます。このとき、同じ向きでぐるっと1周分の外角を足すと、合計はいつも360°になります。

外角の和の公式

多角形の外角の和は、角の数に関係なくいつでも 360° です。
ここは内角の和と大きく違うところです。

最重要ポイント：
多角形の内角の和は角の数で変わりますが、外角の和は常に 360° で一定であるという性質は絶対的なルールです。

正多角形の1つの外角の求め方

正多角形では、外角も全部同じ大きさになります。

公式：360° ÷ n

例題：正八角形の1つの外角

正八角形なら n=8 なので、
360 ÷ 8 = 45°
したがって、正八角形の1つの外角は45°です。

内角と外角の関係

1つの頂点で見ると、内角 + 外角 = 180° です。
この関係を使うと、外角から内角を求めたり、その逆を行ったりすることができます。

多角形の問題の解き方の流れ

ステップ	確認項目
1	内角を聞かれているか、外角を聞かれているか確認
2	「和」なのか「1つ」なのか確認
3	正多角形かどうか（すべて等しいか）を確認
4	適切な公式を選ぶ

よくあるミス

1. 内角の和と外角の和を混同する：内角は (n-2)×180、外角は常に360です。
2. 正多角形ではないのに割ってしまう：すべて同じ角でない限り、割り算はできません。
3. 内角から外角を求める計算ミス：180°から引くことを忘れないようにしましょう。
4. nの意味を取り違える：五角形なら n=5 です。

最重要ポイント：
「正多角形かどうか」を必ず確認しましょう。角の大きさがバラバラな図形で割り算をしてしまうのが最も多いミスです。

まとめ

多角形の内角と外角では、考え方を分けることが大切です。

多角形の内角の和：(n-2) × 180°
正多角形の1つの内角：{(n-2) × 180°} ÷ n
多角形の外角の和：360°
正多角形の1つの外角：360° ÷ n

そして、1つの頂点では内角 + 外角 = 180°になります。

FAQ（よくある質問）

Q. 多角形の内角の和はどうやって求めますか？
A. (n-2)×180° で求めます。nは角の数です。

Q. 五角形の内角の和は何度ですか？
A. (5-2)×180 = 540° なので、540°です。

Q. 外角の和は何角形でも同じですか？
A. はい。三角形でも八角形でも、外角の和はいつも 360° です。

Q. 正多角形の1つの内角はどう求めますか？
A. まず内角の和を出して、それを角の数で割ります。

Q. 正多角形の1つの外角はどう求めますか？
A. 360°÷n で求めます。

Q. 内角と外角の関係はどうなっていますか？
A. 1つの頂点で見ると、内角 + 外角 = 180° です。

読む順番のおすすめ

多角形の角度が苦手な人は、次の順番で読むと理解しやすいです。

1. 「【やり直し中学数学】三角形の基本性質とは？内角・外角のルール」
2. 「【偏差値40からやり直す】角度の求め方｜対頂角・錯角・同位角をやさしく解説」
3. 「【中学数学】平行線と角の関係を図でやさしく理解する」
4. 「【中学数学】多角形の内角と外角の求め方」
5. 「【やり直し数学】平行四辺形の性質をやさしく解説」

多角形の角度は、図形分野の中でも土台になる大事な内容です。
次は「【やり直し数学】平行四辺形の性質をやさしく解説」を読むと、四角形の角度や辺の性質までつながって理解しやすくなります。

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